一.三角函数的极限
1.前言
2.小数的情况($x → 0$)
(1)正弦
简述: 在$sina$中，当$x$非常小的时候，$sin(x)$接近于$x$,所以当$x \rightarrow 0$时有极限:
- 分子、分母和趋近值(可忽略)必须一致才满足下列表达式
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{sin(x)}{x}=1$
(2)余弦
[!TIP]
其不能像$sina$和$tana$那样下面除个x，这会造成未定义的情况
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{cosx}{x} \quad DNE$
简述: 在$cosa$中，当$x \rightarrow 0$时有极限: $\lim\limits_{x\rightarrow 0} cos(x)=1$
推广: $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1-cos(x)}{x} = 0$
(3)正切
简述: 在$\tan a$中,当$x \rightarrow 0$时有极限: $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{tan(x)}{x}=1$
- 分子、分母和趋近值(可忽略)必须一致才满足下列表达式
(4)例题
[!TIP]
- $sin^3(2x)$ 这种写法可以写成 $(sin(2x))^3$
例1: 符合上面表达式的，即得1
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{sim(3x)}{3x} = 1$
例2: 当遇到很类似上面式但不是的时候，可以试去凑
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{sin5x}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{sin5x}{5x} * 5 = 1*5 = 5$
例3:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\tan (2x)}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\tan(2x)}{2x} * 2 = 2$
例4:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{sin^3(2x)cos(5x^{19})}{xtan(5x^2)}$
$=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{(\dfrac{sin(2x)}{2x}·2x)^3}{x·\dfrac{tan(5x^2)}{5x^2}·5x^2} · cos(5x^{19}) = \dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow 0} (\dfrac{sin(2x)}{2x})^3 · 8x^2}{\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{tan(5x^2)}{5x^2}·5x^2} · \lim\limits_{x\rightarrow 0} cos(5x^{19}) = \dfrac{8}{5} · 1 = \dfrac{8}{5}$
2.大数的情况($x → ∞$)
(1)三明治定理求解
[!WARNING]
构造原本需要求极限的式子时，需要注意乘上的值的正负数，合理变化符号
简述: 对于$sin(x)$和$cos(x)$，其在$x$变得越来越大得时候，会在$-1$和$1$之间来回振荡，此时就可以使用三明治定理(夹逼定理)来求其极限了
性质: 对于任意的$x$,有$-1 ≤ sin(x) ≤ 1$和$-1 ≤ cos(x) ≤ 1$
步骤:
- 让函数式中的三角函数按照上面的性质，列出表达式
- 然后再在表达式的基础上加减乘除，构造出原本要求极限的函数式
- 接着对得到的左边界和右边界求极限，看二者是不是相等
- 如果二者相等，此时利用三明治定理(夹逼定理)就可以判断求极限的函数式与两个边界的极限一样了
例: 求$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{xsin(11x^7)-\dfrac{1}{2}}{2x^4}$的极限
∵ 任何正弦都在-1和1之间
∴ $-1 ≤ sin(11x^7) ≤ 1$
在表达式的基础上加减乘除，构造出原本要求极限的函数式
$\dfrac{-x-\dfrac{1}{2}}{2x^4} ≤ \dfrac{xsin(11x^7)-\dfrac{1}{2}}{2x^4} ≤ \dfrac{x-\dfrac{1}{2}}{2x^4}$
根据第四章求多项式极限的方法对得到的左边界和右边界求极限,得到:
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{-x-\dfrac{1}{2}}{2x^4} = 0$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{x-\dfrac{1}{2}}{2x^4} = 0$
∵ 左边界和右边界的极限相等，此时利用三明治定理，由于原始函数被夹在两个$x \rightarrow \infty$时都趋于0的函数之间，因此它也趋于0
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{xsin(11x^7)-\dfrac{1}{2}}{2x^4} = 0$
(2)忽略正余弦求解
适用条件: 当$p$和$q$是多项式或多项式型函数且当$p$和$q$的次数不为0时，只是附带了一些 $sin(任何东西)$ 和 $cos(任何东西)$ ，则求极限的时候可以忽略正弦和余弦。具体参照下面的例子。
- 因为这种情况下正弦和余弦都是在1和-1之间振荡的，除非你没其他数了，否则它两完全可以忽略
小结论: 对于任意的正指数$α$($α ＞0$)
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{sin(任何东西)}{x^α}=0$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{cos(任何东西)}{x^α}=0$
示例: 求$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{3x^2+2x+5+sin(3000x^9)}{2x^2-1-cos(22x)}$的极限
∵ 在分子中，$sin(3000x^9)$这一项只是在-1和1之间，所以可以忽略，故分子的首项是$3x^2$
∵ 根据上面的式子，分母的首项是$2x^2$
∴ 将分子分母的最大项乘与并除于首项，得到下式
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{3x^2+2x+5+sin(3000x^9)}{2x^2-1-cos(22x)} = \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{3x^2+2x+5+sin(3000x^9)}{3x^2} * (3x^2)}{\dfrac{2x^2-1-cos(22x)}{2x^2} * (2x^2)}$
$=\dfrac{1+\dfrac{2}{3x}+\dfrac{5}{3x^2}+\dfrac{sin(3000x^9)}{3x^2}}{1-\dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{cos(22x)}{2x^2}} * \dfrac{3x^2}{2x^2}$
∵ $\dfrac{2}{3x}、\dfrac{5}{3x^2}、\dfrac{1}{2x^2}$的极限均区域0，但$\dfrac{sin(3000x^9)}{3x^2}$和$\dfrac{cos(22x)}{2x^2}$这两项不确定，故根据三明治定理求其极限可得二则均趋于0
∴ 可得极限为 $\dfrac{1+0+0+0}{1-0-0} * \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$
3."其他的"情况
简述: 就是既不是小数也不是大数的情况，即$x \rightarrow 具体值$的情况
处理: 面对$x \rightarrow a$的极限，而$a≠ 0$时，可以用$t=x-a$作替换，将问题转化为$t \rightarrow 0$的形式
例: 求$\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}$的极限
∴ 变化下趋近值的形式 $x \rightarrow \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow x-\dfrac{\pi}{2} \rightarrow 0$，并使用$t$进行替换
∴ 设$t=x-\dfrac{x}{2}$，故当$x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}$时，$t \rightarrow 0$
∴ $\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{cos(x)}{x-\dfrac{\pi}{2}} = \lim\limits_{t\rightarrow 0} = \dfrac{cos(t+\dfrac{\pi}{2})}{t}$
∴ 使用诱导公式$cos(\dfrac{\pi}{2} -x) = sin(x)$替换上式的$cos(t+\dfrac{\pi}{2})$得到
$cos(t+\dfrac{\pi}{2}) = sin(-t) = -sin(t)$
∴ 将其代入极限求解可得极限为-1
$\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{cos(x)}{x-\dfrac{\pi}{2}} = \lim\limits_{t\rightarrow 0} = \dfrac{cos(t+\dfrac{\pi}{2})}{t} = \lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{-sin(t)}{t} = -1$
4.极限公式证明
看书吧，P121的7.1.5.太多了，懒得敲，书上也能看懂
二.三角函数的导数
1.公式
[!TIP]
具体证明看书P127-P129,都有，公式很难敲，直接看书吧
$y=csc(x)=\dfrac{1}{sin(x)}$
$y=sec(x)=\dfrac{1}{cos(x)}$
$y=cot(x)=\dfrac{cos(x)}{sin(x)}$
sin(x)的导数: $\dfrac{d}{dx}sin(x)= (sinx)'=cos(x)$
cos(x)的导数: $\dfrac{d}{dx}cos(x)=(cosx)'=-sin(x)$
tan(x)的导数: $\dfrac{d}{dx}tan(x)=(tan(x))'=sec^2(x)$
sec(x)的导数: $\dfrac{d}{dx}sec(x)=(sec(x))'=sec(x)tan(x)$
csc(x)的导数: $\dfrac{d}{dx}csc(x)=(csc(x))'=-csc(x)cot(x)$
cot(x)的导数: $\dfrac{d}{dx}cot(x) = (cot(x))'=-csc^2(x)$
2.例子
例1: 求$y=x^2sin(x)$的导数.
∵ 使用乘积法则，得到
∴ $y'=2x·sin(x)+x^2cos(x)$
例2: 求$y=\dfrac{sec(x)}{x^5}$的导数.
∵ 使用商法则，得到
∴ $y'=\dfrac{secx'·x^5-secx·5^4}{x^{10}}$
$=\dfrac{secx·tanx·x^5-secx·5x^4}{x^10}$
$=\dfrac{secx·tanx·x-secx}{x^6}$
例3: 求$y=cot(x^3)$的导数.
∵ 使用链导法则，设$u=cot(x)$,$t=x^3$
∴ 对其分别求导得: $u'=-csc^2t$ , $t'=3x^2$
∴ $y=(cot(x^3))'=-csc^2(x^3)·3x^2$
3.应用-简谐运动
简述: 弹簧振子上下运动的